Bir hadisə ehtimalının hesablanması

Göndərildi: 08.09.2021
Məqalənin müəllifi Adəm Quliyev

Ehtimal, müəyyən bir nəticənin və ya hadisənin baş vermə ehtimalıdır. Statistiklər və aktuarilər hadisələr haqqında proqnoz vermək üçün ehtimaldan istifadə edirlər. Bir avtomobil sığorta şirkətində çalışan bir aktuar, məsələn, 17 yaşında bir oğlanın avtomobil qəzasına düşmə ehtimalı ilə maraqlanacaq. Ehtimalların xüsusiyyətlərindən istifadə edərək gələcək hadisələr haqqında proqnozlar vermək üçün keçmiş hadisələrin məlumatlarından istifadə edər, sonra bu məlumatlardan sığorta dərəcəsini hesablamaq üçün istifadə edərdilər.

Bu bölmədə bir hadisənin tərifini araşdıracağıq və baş vermə ehtimalını necə hesablayacağımızı öyrənəcəyik. Fərqli ehtimal növlərini hesablamaq və təsvir etmək üçün standart riyazi işarələrdən istifadə etməyi də tətbiq edəcəyik.

Əsas anlayışlar

Bir qəlib yuvarlasanız, oyun kartlarından bir kart seçin və ya təsadüfən bir adam seçin və saç rəngini müşahidə edin, bir təcrübə və ya prosedur həyata keçiririk. Çox güman ki, fərqli nəticələrin olma ehtimalını nəzərdən keçiririk.

Bəzi terminologiyadan başlayaq.

Hadisələr və Nəticələr

  • Təcrübənin nəticəsinə nəticədeyilir .
  • Bir hadisəhər hansı bir xüsusi nəticə və ya nəticələr qrupudur.
  • A sadə bir hadisədaha aşağı sınıq ola bilməz bir hadisədir
  • Sample spacebütün mümkün sadə tədbirlər müəyyən edilir.

nümunə

Standart 6 tərəfli bir kalıp yuvarlasaq, nümunə məkanını və bəzi sadə hadisələri təsvir edin.

Həll:

Nümunə sahəsi, mümkün olan bütün sadə hadisələr toplusudur:

Sadə hadisələrdən bəzi nümunələr:

  • 1 -i yuvarlayırıq
  • 5 yuvarlayırıq

Bəzi mürəkkəb hadisələr:

  • 4 -dən böyük bir rəqəm yuvarlayırıq
  • Biz cüt ədəd yuvarlayırıq

Əsas ehtimal

Bütün nəticələrin eyni ehtimal olduğunu nəzərə alaraq, E hadisəsinin ehtimalını bu düsturdan istifadə edərək hesablaya bilərik :

nümunələr

6 tərəfli bir qəlib yuvarlasaq, hesablayın

  1. P (1 yuvarlanan)
  2. P (4 -dən böyük bir ədəd yuvarlanır)

Çözümlər:

Xatırladaq ki, nümunə sahəsi

  1. "1 -in yuvarlanmasına" uyğun bir nəticə var, buna görə də ehtimal belədir
  2. 4 -dən böyük iki nəticə var, buna görə də ehtimal

Ehtimallar əslində kəsrlərdir və fraksiya kimi aşağı şərtlərə endirilə bilər.

Bu videoda bu və əvvəlki nümunə ətraflı təsvir edilmişdir.

Tutaq ki, 20 albalı, 14 şirin və 6 turş bir çantanız var. Bir albalı təsadüfi seçsəniz, şirin olma ehtimalı nədir?

Həll:

Seçilə biləcək 20 mümkün albalı var, buna görə də mümkün nəticələrin sayı 20 -dir. Bu 20 mümkün nəticədən 14 -ü əlverişlidir (şirin), buna görə albalı şirin olma ehtimalı böyükdür.

Ancaq bu nümunənin bir potensial komplikasiyası var. Gilasın hər hansı birini yığma ehtimalının digərinin yığılması ehtimalı ilə eyni olduğunu düşünmək lazımdır. (Təsəvvür edək) şirin albalı turşlardan daha kiçik olsa, bu doğru olmaz. (Çantadan nümunə götürəndə turş albalı daha asan ələ keçərdi.) Buna görə də ehtimalları bütün potensial hallara əlverişli nisbət baxımından qiymətləndirdiyimiz zaman çox güman edirik. bütün nəticələr üçün bərabər ehtimal.

Yoxla

Təsadüfi bir anda saatınıza baxırsınız və oxuduğunuz dəqiqələri qeyd edirsiniz.

a. Oxunan dəqiqənin 15 olması ehtimalı nədir?

b. Dəqiqələrin oxunmasının 15 və ya daha az olma ehtimalı nədir?

Kartlar

52 oyun kartından ibarət standart bir göyərtə dörd kostyumdan(ürəklər, kürəklər, brilyantlar və çubuqlar) ibarətdir. Qollar və brilyantlar qırmızı, kürəklər isə qara rəngdədir. Hər kostyumda hər biri fərqli bir dərəcəolan 13 kart var : bir Ace (bir çox oyunda həm aşağı kart, həm də yüksək kart kimi fəaliyyət göstərir), 2 ilə 10 arasında nömrəli kartlar, Cek, Kraliça və Kral.

nümunə

Göyərtədən təsadüfi olaraq bir kart çəkmək və Ace almaq ehtimalını hesablayın.

Həll:

Göyərtədə 52 kart və 4 Aces var

Ehtimalları da faiz hesab edə bilərik: Təsadüfi seçilmiş bir kartın Ace olma ehtimalı 7.69% -dir.

Mümkün olan ən kiçik ehtimalın 0 olduğuna diqqət yetirin - hadisəyə uyğun gələn nəticələr yoxdursa. Mümkün olan ən böyük ehtimal 1 -dir - bütün mümkün nəticələr hadisə ilə uyğun gəlsə.

Bu video həm bu nümunəni, həm də səhifədəki əvvəlki albalı nümunəsini nümayiş etdirir.

Müəyyən və mümkün olmayan hadisələr

  • Mümkün olmayan bir hadisənin 0 ehtimalı var.
  • Müəyyən bir hadisənin 1 ehtimalı var.
  • Hər hansı bir hadisənin baş vermə ehtimalı olmalıdır

Yoxla

Bu hissənin gedişində bir ehtimal hesablayıb mənfi və ya 1 -dən böyük bir cavab alsanız, səhv etmişsiniz və işinizi yoxlamalısınız.

Hadisələrin növləri

Tamamlayıcı hadisələr

İndi bir hadisə ki ehtimalını yoxlamaq imkan verməyinbaş verir. Əvvəlki hissədə olduğu kimi, altı tərəfli bir qəlibin yuvarlanması vəziyyətini nəzərdən keçirin və əvvəlcə altının yuvarlanma ehtimalını hesablayın: cavab P (altı) = 1/6. İndi ki, ehtimal hesab deyil bir altı gəzmək: altı deyil 5 nəticələr var, cavab belə P (bir altı) =. Buna diqqət yetirin

Bu təsadüf deyil. N mümkün nəticələr və bu nəticələrin m -ə uyğun gələn E hadisəsi olan ümumi vəziyyəti nəzərdən keçirin . Sonra qalan n - m nəticələri E baş vermir, buna görə də uyğun gəlir

Bir hadisənin tamamlayıcısı

Tamamlayıcıbir hadisə hadisə "dir E olmur"

  • Qeyd E hadisəsinin tamamlanma ehtimalı üçün istifadə olunur .
  • Komplementin ehtimalını istifadə edərək hesablaya bilərik
  • Buna da diqqət yetirin

nümunə

Göyərtə kartlarından təsadüfi bir kart çəksəniz, ürək olmaması ehtimalı nədir?

Həll:

Göyərtədə 13 ürək var.

Ehtimalı olmayan bir ürək rəsm tamamlayıcı edir:

Bu vəziyyət aşağıdakı videoda izah olunur.

Yoxla

İki müstəqil hadisənin olma ehtimalı

nümunə

Tutaq ki, bir sikkəni çevirib qəlibi yuvarladıq və sikkə üzərində başın və qəlibdə 6 -nın olma ehtimalını bilmək istədik.

Həll:

Bütün mümkün nəticələri sadalaya bilərik: .

Ümumi nəticələr olduğunu unutmayın. Bunlardan yalnız 1 -i istənilən nəticədir, buna görə də ehtimal belədir.

Əvvəlki nümunədə iki müstəqil hadisə var idi. Bir qəlibin yuvarlanmasından müəyyən bir nəticə əldə etmək, sikkəni çevirməklə nəticəyə heç bir təsir göstərməmişdir.

Müstəqil hadisələr

A hadisəsinin başvermə ehtimalı eyni olsa, A və B hadisələri müstəqil hadisələrdir.

nümunə

Bu hadisələr müstəqildirmi?

  1. Ədalətli bir sikkə iki dəfə atılır. İki hadisə: (1) birinci atma baş və (2) ikinci atış başdır.
  2. İki hadisə (1) "Sabah Hyustonda yağış yağacaq" və (2) "Sabah Galvestonda yağış yağacaq" (Hyuston yaxınlığındakı bir şəhər).
  3. Bir göyərtədən bir kart çəkirsiniz, sonra birincisini dəyişdirmədən ikinci bir kart çəkirsiniz.

Çözümlər:

  1. Bir başın ikinci atışda ortaya çıxma ehtimalı, başın ilk atışda ortaya çıxıb -çıxmamasından asılı olmayaraq 1/2 -dir, buna görə də bu hadisələr müstəqildir.
  2. Bu hadisələr müstəqil deyil, çünki Hyustonda yağmadığı günlərdə Galvestonda yağış yağacağı ehtimalı daha çoxdur.
  3. İkinci kartın qırmızı olma ehtimalı birinci kartın qırmızı olub -olmamasından asılıdır, ona görə də bu hadisələr müstəqil deyil.

İki hadisə müstəqil olduqda, hər iki hadisənin baş vermə ehtimalı fərdi hadisələrin ehtimallarının məhsuludur.

P ( A və B ) müstəqil hadisələr üçün

Hadisələr varsa A və B müstəqil, sonra həm ehtimalı A və B baş verən deyil

burada P ( A və B ) - A və B hadisələrinin baş vermə ehtimalı , P ( A ) - A hadisəsinin baş vermə ehtimalı, P ( B ) - B hadisəsinin baş vermə ehtimalı

Sikkəyə yenidən baxsanız və əvvəlki nümunədən ölsəniz, ilk hadisənin nəticələrinin ikinci hadisədəki nəticələrin sayına vurulduğunu və birləşmiş hadisədə mümkün nəticələrin ümumi sayına bərabər olduğunu görə bilərsiniz.

nümunə

Çekmecenizdə 6 -sı ağ olmaqla 3 cütü ağ olan 10 cüt corab var. Təsadüfi olaraq bir cüt corab və bir tee köynək çəksəniz, hər ikisinin ağ olma ehtimalı nədir?

Həll:

Ağ bir cüt corab seçmək ehtimalı belədir.

Ağ köynək seçmək ehtimalı belədir.

Hər ikisinin də ağ olma ehtimalı

Birgə ehtimalların nümunələri bu videoda müzakirə olunur.

Yoxla

Əvvəlki nümunələr hər iki hadisənin baş vermə ehtimalını araşdırdı . İndi hər iki hadisənin baş vermə ehtimalını nəzərdən keçirəcəyik .

nümunə

Biz bir sikkə Çevrilmiş və die yayılmış, və sikkə bir baş almaq ehtimalı bilmək istəyirdi Güman ya die bir 6.

Həll:

Burada hələ də 12 mümkün nəticə var:

Sadəcə sayılması, biz nəticələrin 7 sikkə bir baş var ki, görə bilərsiniz və ya die bir 6 və ya hər ikisi - biz istifadə və ya daxil olmaqla burada (bu 7 nəticələr var H1, H2, h2, H4, H5, H6, T6 ), ehtimal belədir. Bunu fərdi ehtimallardan necə tapa bilərdik?

Gözlədiyimiz kimi, bu nəticələrin başı var və bu nəticələrin ölümü ilə əlaqədar 6 var. Bunları əlavə etsək, bu, doğru ehtimal deyil. Nəticələrə baxaraq bunun səbəbini görə bilərik: H6 nəticəsi iki dəfə sayılacaqdı, çünki həm baş, həm də 6; baş, həm də ehtimalı və bir 6 yayma.

Bu ikiqat sayını çıxarsaq, doğru ehtimalımız var:.

P ( A və ya B )

A və ya B -nin (və ya hər ikisinin) baş vermə ehtimalı

nümunə

Standart bir göyərtədən bir kart çəkdiyimizi düşünün. Bir Kraliça və ya Kral əldə etmə ehtimalımız nədir?

Həll:

Göyərtədə 4 Kraliça və 4 Kral var, bu səbəbdən 52 mümkün nəticədən bir Kraliçaya və ya Krala uyğun gələn 8 nəticə var. Beləliklə, Kraliça və ya Kral çəkmə ehtimalı belədir:

Qeyd edək ki, bu halda həm Kraliça, həm də Kral olan heç bir kart yoxdur. Ehtimal qaydamızdan istifadə edərək deyə bilərik:

Aşağıdakı videoda bu və əvvəlki nümunə haqqında daha çox məlumat əldə edin.

Son nümunədə hadisələr bir -birini istisnaedirdi , buna görə P ( A və ya B ) = P ( A ) + P ( B ).

Yoxla

nümunə

Standart bir göyərtədən bir kart çəkdiyimizi düşünün. Qırmızı vərəqə və ya Kral almağımızın ehtimalı nədir?

Həll:

Kartların yarısı qırmızıdır

Dörd kral var, buna görə də

İki qırmızı padşah var

Sonra hesablaya bilərik

Yoxla

Çekmecenizdə 6 -sı ağ olmaqla 3 cütü ağ olan 10 cüt corab var. İçəri girib təsadüfən bir cüt corab və bir köynək götürsəniz, ən azı birinin ağ olma ehtimalı nədir?

Misal

Aşağıdakı cədvəldə son bir ildə sürətli bilet alan və almamış sorğu subyektlərinin sayı və avtomobilinin rəngi göstərilir. Təsadüfi seçilmiş bir insanın ehtimalını tapın:

  1. Qırmızı maşını var və sürətli bilet alıb
  2. Qırmızı bir avtomobili var və ya sürətlə gedən bir bilet var.

Həll:

Görə bilərik ki, sorğuda iştirak edən 665 nəfərdən 15 nəfərinin həm qırmızı avtomobili var, həm də sürət həddi var, buna görə də ehtimal belədir.

Qırmızı avtomobilə sahib olmaq və sürətli bilet almaq müstəqil hadisələr deyil, buna görə də hər ikisinin də baş vermə ehtimalı hər birinin baş vermə ehtimallarının məhsulu deyil.

Sadəcə nömrələri əlavə edərək bu suala cavab verə bilərik: qırmızı avtomobili olan və sürətli bilet alan 15 nəfər + qırmızı maşınla 135, lakin biletsiz + biletli 45, qırmızı maşınsız = 195 nəfər. Deməli, ehtimal belədir.

Bu ehtimalı da tapa bilərik:

P (qırmızı maşını vardı) + P (sürətlə gedən bilet aldı) - P (qırmızı maşını vardı və sürətlə gedən bilet aldı)

Bu cədvəl nümunəsi aşağıdakı izahlı videoda ətraflı izah edilmişdir.

Yoxla

Şərti ehtimal

Əvvəlki hissədə bir -birindən asılı olmayan hadisələrin ehtimallarını hesabladıq. Ölüm yuvarlamaqdan müəyyən bir nəticənin əldə edilməsinin, bir sikkəni çevirməyin nəticəsinə heç bir təsiri olmadığını gördük, baxmayaraq ki, bunları eyni vaxtda etməyə əsaslanaraq hesablayırıq.

Bu bölmədə biz nəzərdən keçirəcəyik var bir-birinə adlı asılı şərti ehtimallar.

Şərti ehtimal

A hadisəsinin baş verdiyini nəzərə alaraq, B hadisəsinin baş vermə ehtimalı belə təmsil olunur

Bu, "ehtimalı kimi oxumaq B verilmiş A "

Məsələn, bir göyərtədən bir kart çəkirsinizsə, onda növbəti kart üçün nümunə sahəsi dəyişdi, çünki indi 51 kartdan ibarət bir göyərtə ilə işləyirsiniz. Aşağıdakı nümunədə bu kimi hadisələr üçün hesablamaların son hissədə etdiyimiz hesablamalardan nə ilə fərqləndiyini göstərəcəyik.

nümunə

Göyərtə kartlarından təsadüfi olaraq çəkilən iki kartın hər ikisinin də as olma ehtimalı nədir?

Həll:

İki müstəqil hadisənin olma ehtimalının düsturundan istifadə edib sadəcə çoxalda biləcəyiniz görünə bilər. Ancaq bu səhv olardı, çünki iki hadisə müstəqil deyildi. İlk çəkilən kart bir asdırsa, ikinci kartın da ace olma ehtimalı daha aşağı olardı, çünki göyərtədə yalnız üç ac qalacaqdı.

İlk seçilən kart ace olduqdan sonra, ikinci kartın da ace olma ehtimalınaace çəkmə şərti ehtimalıdeyilir . Bu vəziyyətdə "şərt" ilk kartın bir as olmasıdır. Bunu simvolik olaraq belə yazırıq:

P (ikinci çəkilişdə ace | ilk çəkilişdə ace).

Şaquli çubuq "|" "verildi" olaraq oxunur, buna görə də yuxarıdakı ifadə "İlk çəkilişdə bir ace çəkildiyini nəzərə alaraq ikinci çəkilişdə bir asın çəkilmə ehtimalı" üçün qısadır. Bu ehtimal nədir? İlk çəkilişdə bir ace çəkildikdən sonra, 51 ümumi kartdan 3 aces qalıb. Bu o deməkdir ki, bir as çəkildikdən sonra bir as çəkməyin şərti ehtimalı böyükdür.

Beləliklə, hər iki kartın as olma ehtimalı.

Şərti Ehtimal Formulu

Əgər A və B hadisələri müstəqil deyilsə

nümunə

Göyərtədən 2 kart çıxararsanız, hər ikisinin də kürək olma ehtimalı nədir?

Həll:

İlk kartın bir kürək olması ehtimalı.

İkinci kartın kürək olması ehtimalı, birincisi bir kürək olduğu üçün, güvertedə bir az kürək və bir kartdan da azdır.

Hər iki kartın kürək olma ehtimalı belədir

Yoxla

Misal

Aşağıdakı cədvəldə son bir ildə sürətli bilet alan və almamış sorğu subyektlərinin sayı və avtomobilinin rəngi göstərilir. Təsadüfi seçilmiş bir insanın ehtimalını tapın:

  1. bir sürətləndirilməsi bilet etmişdir verilmiş onlar qırmızı avtomobil
  2. qırmızı avtomobil etmişdir verilmiş bir sürətləndirilməsi bilet var

Çözümlər:

  1. Adamın qırmızı maşını olduğunu bildiyimiz üçün yalnız masanın birinci sırasındakı 150 nəfəri nəzərdən keçiririk. Onlardan 15 -də sürətli bilet var, buna görə P (bilet | qırmızı maşın) =
  2. Şəxsin sürət həddi olduğunu bildiyimiz üçün yalnız cədvəlin birinci sütunundakı 60 nəfəri nəzərdən keçiririk. Onlardan 15 -də qırmızı maşın var, buna görə P (qırmızı maşın | bilet) =.

Son nümunədən xəbərdar olun ki, P (B | A) P (A | B) ilə bərabər deyil.

Bu cür şərti ehtimallar, sığorta şirkətlərinin sığorta dərəcələrinizi təyin etmək üçün istifadə etdikləridir. Yaşınızı, avtomobilinizi, avtomobilinizin rəngini, sürücülük tarixinizi və s.

Aşağıdakı videoda şərti ehtimal haqqında daha çox məlumat əldə edin.

Misal

Bir göyərtədən iki kart çəksən, Ace of Diamonds və qara kart əldə etmə ehtimalı nədir?

Həll:

Aşağıdakı kimi A və ya B hallarına sahib olaraq bu şərti təmin edə bilərsiniz:

Case A) əvvəlcə Ace of Diamonds, sonra isə qara kart və ya əldə edə bilərsiniz

Case B) əvvəlcə qara kart əldə edə bilərsiniz və sonra Ace of Diamonds.

A Case ehtimalını hesablayaq. İlk kartın Ace of Diamonds olma ehtimalı. Birinci kartın Ace of Diamonds olduğunu nəzərə alaraq ikinci kartın qara olma ehtimalı, qalan 51 kartdan 26 -sının qara olmasıdır. Ehtimal buna görədir.

İndi B işi üçün: ilk kartın qara olması ehtimalı. Birinci kartın qara olması ilə ikinci kartın Ace of Diamonds olma ehtimalı. B hadisəsinin ehtimalı 1 -ci ehtimalla eynidir.

Xatırladaq ki, A və ya B ehtimalı P (A) + P (B) - P (A və B) -dir. Bu problemdə P (A və B) = 0, çünki ilk kart Ace of Diamonds ola bilməz və qara kart ola bilməz. Buna görə A və ya B hallarının olma ehtimalı. Göyərtədən iki kart çəkərkən Ace of Diamonds və qara kart əldə etmə ehtimalı böyükdür.

Bu iki oyun kartı ssenarisi sonrakı videoda daha ətraflı müzakirə ediləcək.

Yoxla

Misal

Qadınlara evdə hamiləlik testi verildi, sonra hamiləlik qan testləri ilə təsdiq edildi. Aşağıdakı cədvəldə evdə hamiləlik testinin nəticələri göstərilir.

  1. P (hamilə deyil | müsbət test nəticəsi)
  2. P (testin müsbət nəticəsi | hamilə deyil)

Çözümlər:

  1. Test nəticəsinin müsbət olduğunu bildiyimiz üçün, ilk sütundakı 5 qadın hamilə olmayan 75 qadınla məhdudlaşırıq. P (hamilə deyil | müsbət test nəticəsi) =.
  2. Qadının hamilə olmadığını bildiyimiz üçün ikinci sıradakı 19 qadınla məhdudlaşırıq, onlardan 5 -i müsbət test etdi. P (testin müsbət nəticəsi | hamilə deyil) =

İkinci nəticə adətən yalan pozitiv adlanır: Qadın əslində hamilə olmadıqda müsbət nəticə.

Bu nümunə haqqında daha çox buraya baxın.

Yoxla

Bu fəsildə David Lippman tərəfindən Math in Society (OpenTextBookStore-da) materialı var və CC Attribution-Share Alike 3.0 United States (CC BY-SA 3.0 US) lisenziyası altında istifadə olunur.

Bu fəsildə Lumen Learning tərəfindən Liberal Sənətlər üçün Math -dan (Lumen Learning haqqında) götürülmüş və CC BY: Attribution lisenziyası altında istifadə olunan materiallar var .