Uniform Plinko Problemi

Göndərildi: 08.09.2021
Məqalənin müəllifi Adəm Quliyev

Plinko lövhələrindən asimptotik olaraq vahid paylamalar yaratmaq.

Plinko haqqında

Plinko bir lövhə, top və vedrələrin yer aldığı bir şans oyunudur. Lövhədə topun düşə biləcəyi və aralarında sıçrayacağı, əvvəlcədən təyin olunmuş ehtimallarla müəyyən bir mıxdan sola və ya sağa gedə biləcəyi şəkildə yerləşdirilmiş bir sıra dirək var. Kovalar lövhənin alt hissəsində topun onlardan birinə düşməsi üçün yerləşdirilir. Oyun topu lövhənin yuxarı hissəsindən atmaqla oynanır və oyunçu topun içərisinə düşən vedrə ilə əlaqəli olan mükafatı qazanır.

Oyunun ən çox variantları:

  • oyunçunun lövhənin üstündəki başlanğıc dirəyini seçməsinə icazə verin
  • daha genişdən hündür olan lövhələr - lövhənin kənarındakı topun növbəti dirəyə düşməmişdən qabağa düşə biləcəyi divarları tələb edir.

Fəaliyyətdə

Fəaliyyətdə olan bu oyunun bir neçə görkəmli nümunəsi:

    , baxılan filmlərin Plinko vasitəsi ilə seçildiyi "ən pis" film baxış şousu. Bu variant problemə olan marağımı ilhamlandırdı; heç bir rəyçi hansı pis filmə baxılacağını seçmək məsuliyyətini istəmir (hələ birini seçmək lazımdır). Qısa müddətdə müzakirə ediləcəyi kimi Plinko, başlanğıc dirəyinə şərt qoyulan "ədalətli" deyil. Buna görə rəyçilər baxılan film üçün bir qədər şəxsən məsuliyyət daşıyırlar. Məqsədim nümunə paylama vahid halına gətirərək bu məsuliyyəti tamamilə aradan qaldırmaqdır. , bir istehlakçı oyun nümayişi. Onların variantı maraqlıdır, çünki gözləntiləri əl ilə hesablamaq və bununla da optimal başlanğıc dirəyini seçmək vacib deyil.

Statistik xüsusiyyətlər

Təhlili daha asan etmək üçün Plinko'yu oyunçunun topu yalnız bir başlanğıc dirəyinə atmasına icazə vermək üçün məhdudlaşdıracağıq və bundan əlavə divarlar da olmayacaq.

Müşahidə etdiyim hər hansı bir real həyatda olan Plinko lövhəsində, hər hansı bir dirəkdə sola getmək ehtimalı təqribən .5 (və tamamlayıcı ilə sağ üçün .5) dir. Bu, dirəklərin IID Bernoulli sınaqları barədə düşünülə biləcəyini, son çömçəyə enməsini təyin edən bir Binomial paylanmanı əmələ gətirir (sol / sağ düşmə sayını cəmləyərək). Acınacaqlı olaraq, Plinko tez-tez Mərkəzi Limit Teoreminin (CLT) nümayişi kimi istinad edilir. Bu doğrudur, ancaq bu cür birbaşa olmağı nəzərdə tutmaq qeyri-adi bir şeydir. Birbaşa paylama binomialdır (n = lövhə dərinliyi, p = .5) ki, bu da asimptotik olaraq CLT üzərindən Normal paylanma ilə (IID Bernoulli sınaqlarının xətti birləşməsi kimi) böyük n və n * p.

Budur 50/50 bölünmənin altında məhdud bir dərinlik 10 Plinko taxtası üçün vedrə nəticələrindəki asimptotik qırılma:

Və vizual paylama:

Uniform Plinko Problemi

Əla! Darıxdırıcı dünyada bir binomial paylamamız var. Digər paylamalar istehsal edən Plinko lövhələr inşa edə bilərikmi? Konkret olaraq hər hansı bir dərinlikdə Plinko lövhəsi üçün vahid paylama qura bilərikmi?

Düşüncələr

Bu problemlə əlaqəli bəzi düşüncələr:

  • Bizim yeganə idarə etmə qolumuz (sabit bir dərinlik üçün) sola və sağa düşmə ilə əlaqəli ehtimaldır.
    • Ehtimallar artıq 50/50 olduqda, lövhənin hər səviyyəsində Bernoulli sınaqları artıq müstəqil deyildir.
    • Lövhədə yüksək ehtimalı düzəltmək lövhənin aşağı səviyyələrindəki nəticələrə əhəmiyyətli dərəcədə təsir göstərir
    • yəni bir yol boyunca Bernoulli sınaqları müstəqil qalır

    Yanaşma

    Alınan yanaşma kobud güc və ədədi idi:

    • Plinko lövhəsində hər başlanğıc dirəyi ->vedrə yolunu keçin
    • Hər bir yol üçün, yol boyunca ehtimalların icra edilə bilən məhsulunu yaradın
    • Hər vedrə üçün yol məhsullarının icrası mümkün olan bir cəmini düzəldin

    Bu nöqtədə bir tənlik sistemimiz var! Yəni, hər tənlik vahid sıxlığa bərabər olan 1 / (1 + n) ilə kova başına bir tənlikdir. Məsələn, 3 qovşaqlı bir dərinlik 2 lövhədə aşağıdakı sistem mövcuddur, burada x_i - yuxarıdan aşağıya, soldan sağa 1. etiketli ith nodu üçün sola düşmə ehtimalı.

    Ümumiyyətlə, bu sistem müəyyənləşdirilməyəcəkdir. Dərinlik n lövhəsi üçün n + 1 buketlər var ki, n (n + 1) / 2 parametrlərinin n + 1 tənliklərinə gətirib çıxarır. Beləliklə, bir optimallaşdırma yanaşmasına üstünlük veririk. B_i nəticələrindəki zərər funksiyasını B_i olaraq təyin etməyi seçdim: (1 / (n + 1) - B_i) ^ 2, bu sadəcə vahid sıxlıqdakı kvadratik itkidir. İstifadə olunan ədədi optimallaşdırma metodundan asılı olaraq digər itki funksiyaları daha ideal ola bilər. Əlinizdəki bir zərər funksiyası ilə, yalnız bir gradyan əsaslı optimizator tətbiq etmək qalır. BFGS ilə müvəffəq oldum, vəziyyət parametrlərini bütün parametrlər üçün [0,1] (etibarlı ehtimallar) ilə məhdudlaşdırdım.

    Həllər

    Həllər yalnız sağ düşmə ehtimalları ilə verilir; sol düşmə ehtimalları tamamlayıcı olaraq sadəcə əldə edilir. Diqqət yetirin ki, həllər təmiz göstərmə üçün iki onluğa qədər yuvarlaqlaşdırılır. Bu nəticələri və qrafikləri çoxaltmaq üçün uniform_plinko.py səhifəsinə baxın.

    Dərinlik 3

    Dərinlik 5

    Dərinlik 10

    Yuxarıda göstərilən python kodundan istifadə edərək bu həll hesablanması təxminən 10 saniyə çəkdi.